(3n + 4) divise-t-il (n - 1) ? - Corrigé

Énoncé

Déterminer l'ensemble des entiers relatifs \(n\) tels que \(3n+4\) divise \(n-1\) .

Solution

Soit \(n \in \mathbb{Z}\) tel que \(3n+4\) divise \(n-1\) .
Alors \(n\) divise aussi \((3n+4)-3(n-1)=3n+4-3n+3=7\) .
Or \(\mathscr{D}(7)=\left\lbrace -7 \ ; -1 \ ; 1 \ ; 7 \right\rbrace\) .

On a quatre cas à traiter :

• \(3n+4=-7 \ \Longleftrightarrow \ 3n=-11\) : pas de solution dans \(\mathbb{Z}\)  
• \(3n+4=-1 \ \Longleftrightarrow \ 3n=-5\)  : pas de solution dans  \(\mathbb{Z}\)
• \(3n+4=1 \ \Longleftrightarrow \ 3n=-3 \ \Longleftrightarrow \ n=-1\)  
• \(3n+4=7 \ \Longleftrightarrow \ 3n=3 \ \Longleftrightarrow \ n=1\)  
  

et donc \(n \in \left\lbrace -1 \ ; 1 \right\rbrace\) .

Réciproquement, on récapitule toutes les possibilités dans un tableau :

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.1}\begin{array}{|c|c|c|}\hline n& -1& 1\\ \hline 3n+4& 1& 7\\ \hline n-1& -2& 0\\ \hline (3n+4) \vert (n-1) \text{ ?}& \text{oui}& \text{oui}\\\hline\end{array}\end{align*}\)  

Finalement, les entiers \(n \in \mathbb{Z}\) tels que \(3n+4\) divise \(n-1\) sont exactement \(-1\) et \(1\) .